Doslo je na red stepenovanje, pa da vidmo kako to da pojednostavimo i objasnimo...
Imamo recimo broj 4. Njega mozemo zapisati kao 2^2, broj 9 je recimo 3^2.
Sta ustvari to znaci?
Neki broj na kvadrat je taj broj puta taj broj ili 2*2=4 ili 3*3=9.
Da ne bi pisali recimo 2*2*2*2=16, mi napisemo 2^4=16.
Znaci da ako je neki broj na peti imamo pet tih brojeva koji se mnoze.
Kada smo razumeli sta je ustvari stepenovanje da vidimo neke osobine koje su dozvoljene u ovom delu matematike:
ako imam a^2*b^2 mozemo zapisati (a*b)^2
primer:
5^2*4^2=(5*4)^2=20^2=20*20=400
ako bi imali recimo a^5*a^8 mozemo ga zapisati kao a^5+8 = a^13
primer:
2^3*2^1=2^3+1=2^4=2*2*2*2=16
ako bi imali a^5/a^4 to bi bilo a^5-4= a^1 = a
Znaci, umesto sabiranja idemo na oduzimanje.
(a^2)^5=a^2*5=a^10
Da rezimiramo:
Ako imamo dva broja koja mnozimo, a stepeni ili eksponenti su im isti prosto njih pomnozimo pa taj rezultat stavimo na eksponent.
Ako su osnove iste, a stepeni razlicti. Prepisemo osnove, a stepene saberemo.
Ako je primer kao malo pre samo se dele, umesto sabrianja eksponenta imamo oduzimanje.
Jos par stvari.
Bilo koji broj na nula je 1 uvek.
I broj na negativan stepen je 1/taj broj.
a^-5= 1/a^5
Verovatno cu za koji dan da objavim nekoliko uradjenih primera kako bi mogli da proverite znanje.
субота, 23. март 2013.
петак, 22. март 2013.
Znak
Dodjosmo i do znaka.
Pravila su prosta:
+ i + = +
+ i - = -
- i + = -
- i - = +
Da rezimiramo, kada imamo isti znak onda je to +, a kada imamo mesano :) ( plus i minus) rezultat je minus.
Ove operacije dolaze do izrazaja najvise i jedino koliko sad vidim kod mnozenja i deljenja.
Da vidimo na primerima:
-50/2= - 25 (- / + = -)
9/(-3)= -3 (+ / - = -)
-10/(-2)=5 (- / - = +)
10/2=5 (+ / + = +)
Eto i primera da se malo stvar bolje razume.
Mora da se radi, ali po malo, u prevozu ili negde dok cekate nesto uvek mozete u glavi malo da racunate i da se zanimate.
Srecno!!!
Pravila su prosta:
+ i + = +
+ i - = -
- i + = -
- i - = +
Da rezimiramo, kada imamo isti znak onda je to +, a kada imamo mesano :) ( plus i minus) rezultat je minus.
Ove operacije dolaze do izrazaja najvise i jedino koliko sad vidim kod mnozenja i deljenja.
Da vidimo na primerima:
-50/2= - 25 (- / + = -)
9/(-3)= -3 (+ / - = -)
-10/(-2)=5 (- / - = +)
10/2=5 (+ / + = +)
Eto i primera da se malo stvar bolje razume.
Mora da se radi, ali po malo, u prevozu ili negde dok cekate nesto uvek mozete u glavi malo da racunate i da se zanimate.
Srecno!!!
Zapis broja
Dok sam pisao predhodne postove, shvatio sam da mozda treba da objasnim nesto.
Recimo broj 58469 moze da se zapise kao:
5*10000+8*1000+4*100+6*10+9 sto je zapis poredan po velicini jedinica(desethiljada/hiljadu/sto/...)
Moze i 50000+8000+400+60+9 sto je isto kao gore samo pomnozeno :)
Kod operacija sa brojevima moze se broj ovako rasdeliti na celine radi lakseg racuna. Na ovaj nacin mozete sebi olaksati posao sa vecim brojevima kada vam profesori matematike ne daju da koristie digitron.
Eto cisto malo da se shvate brojevi.
Recimo broj 58469 moze da se zapise kao:
5*10000+8*1000+4*100+6*10+9 sto je zapis poredan po velicini jedinica(desethiljada/hiljadu/sto/...)
Moze i 50000+8000+400+60+9 sto je isto kao gore samo pomnozeno :)
Kod operacija sa brojevima moze se broj ovako rasdeliti na celine radi lakseg racuna. Na ovaj nacin mozete sebi olaksati posao sa vecim brojevima kada vam profesori matematike ne daju da koristie digitron.
Eto cisto malo da se shvate brojevi.
Deljenje
Posto je za mnozenje takodje obradjeno u onoj skripti ciji je link dat u proslom postu, da vidimo deljenje. Mozda se u skorije vreme setim neceg iz mnozenja, ali vedski sistem je stvarno dobar.
E deljenje...
Deljenje je prosto kada podelimo nesto sa necim(malo sasavo, ali je tako :) )
Da vidimo, deljenje je 4/2 sto je 2. Takodje i 4685268486/8 ciji me rezultat ne zanima :)
Hm... kako da podelimo dva broja lako.
Moramo da znamo recimo da je 2*2*2=8, pa ako bi podelili 8 sa 4 dobili bi 2. To lagano izlgeda, ali mi je cilj nesto drugo...
Ako imamo recimo 325/5, malo je nezgodno, a mozda i nije.
Razmisljanje ide ovako:
Treba nam 300, hm... 300/5 je nemam pojma koliko, ali znam da je 30/5=6.
Ako imam 300, to je kao da pise 30*10. Pa ako bi podelili (30/5)*10 dobili bi 60.
Resili smo taj deo, ostalo je jos 25 sa 5 sto je naravno 5. I konacan rezultat je 65.
Znaci vece brojeve cemo da razdvojimo na delove(5432 je 5000+400+30+2)
Ako bi uzeli 5432 i recimo zelimo da podelimo sa 2, dobili bi na ovaj nacin nesto ovako:
5000/2=2500
400/2=200
30/2=15
2/2=1
Sto je 2716 kao konacno resenje. Naravno kada se se uradi nekoliko primera, ovo bi moglo da bude uradjeno i iz glave. Treba vezbati rad iz glave, greske ce dolaziti i dolaziti, ali nakon nekon vemena, recimo mesec dana, mozda manje. Naravano ako se svaki dan radi po malo, trebalo bi vec da se mozak navikne i da se to samo radi, da nema mnogo razmisljanja oko ovagvog racuna.
E deljenje...
Deljenje je prosto kada podelimo nesto sa necim(malo sasavo, ali je tako :) )
Da vidimo, deljenje je 4/2 sto je 2. Takodje i 4685268486/8 ciji me rezultat ne zanima :)
Hm... kako da podelimo dva broja lako.
Moramo da znamo recimo da je 2*2*2=8, pa ako bi podelili 8 sa 4 dobili bi 2. To lagano izlgeda, ali mi je cilj nesto drugo...
Ako imamo recimo 325/5, malo je nezgodno, a mozda i nije.
Razmisljanje ide ovako:
Treba nam 300, hm... 300/5 je nemam pojma koliko, ali znam da je 30/5=6.
Ako imam 300, to je kao da pise 30*10. Pa ako bi podelili (30/5)*10 dobili bi 60.
Resili smo taj deo, ostalo je jos 25 sa 5 sto je naravno 5. I konacan rezultat je 65.
Znaci vece brojeve cemo da razdvojimo na delove(5432 je 5000+400+30+2)
Ako bi uzeli 5432 i recimo zelimo da podelimo sa 2, dobili bi na ovaj nacin nesto ovako:
5000/2=2500
400/2=200
30/2=15
2/2=1
Sto je 2716 kao konacno resenje. Naravno kada se se uradi nekoliko primera, ovo bi moglo da bude uradjeno i iz glave. Treba vezbati rad iz glave, greske ce dolaziti i dolaziti, ali nakon nekon vemena, recimo mesec dana, mozda manje. Naravano ako se svaki dan radi po malo, trebalo bi vec da se mozak navikne i da se to samo radi, da nema mnogo razmisljanja oko ovagvog racuna.
Oduzimanje
Oduzimanje je jos jedna od osnovnih operacija u matematici, pa da vidimo sta se tu desava...
Sve sto smo mogli kod sabiranja oko permutacije sabiraka ovde ne mozemo. E sad, da to vidimo na primeru.
Ako bi rekli da mozemo da saberemo 2+5=7 i da je to isto kao i 5+2=7 i ako bi to primenili na oduzimanje ima li bi nesto ovako...
2-5=-3 i 5-2=3, sta vidimo?
Rezultat svakako nije isti, matematicki gledano naravno. Dobili smo 3 i -3 sto naravno nije isto. Medjutim ono sto je nama recimo prakticno moguce, ako dodamo minus nesto ovako:
-(2-5)=-(3)=3(minus i minus daju plus, obradicu i temu o znakovima u narednim tekstovima naravno).
Znaci, isto je i nije isto. Ako zurimo ili slucajno zapisemo recimo 2-5 nije strasno, dodamo minus i to je to imamo tacno resenje.
Ako smo shvatili sta se ovde radi u oduzimanju da vidimo prakticno neke cake za racunanje.
Nekada davno u Indiji koji su bili dobri matematicari nastala je vedska matematika. Pominjacu ih jos nekoliko puta :)
Da vidimo prvo primer:
75-29=?
75
29
oduzimamo 5 od 9, sto je -4 ili da je 5 manje od devet. To ne mozemo tako napisati pa radimo sledece.
Razlika izmedju 5 i 9 je 4. Za poslednji broj uzimamo kao merodavan da tako kazem 10, a za ostale 9. Sada cemo videti sta znaci to 9 i 10.
Znaci razlika je 4, 10 manje 4 je 6. Pisemo 6.
Dalje...
7-2 je 5, poslednji smanjimo za 1 i to je to. Rezultat je 46 :)
Da remiziramo sta se desilo:
od 10 oduzmemo poslednju razliku i upisemo
onda od 9 oduzmemo sledecu i sve tako koliko ima brojeva
na kraju kada dobijemo poslednju razliku od tog broja oduzmemo jedan i to je to, resenje.
Na ovaj nacin se izbegne ona razlika recimo 14 od 5 i slicno, tj.pravimo sablon.
Ovde je link za jako lepo uradjenu skriptu, pa da ne bih bezveze pisao, mislim da ta skripta je sasvim dovoljna za racunanje. U ovoj skripti je obradjeno i mnozenje, mislim i deljenje tako da je jako dobra.
http://www.os-ljudevita-gaja-zapresic.skole.hr/upload/os-ljudevita-gaja-zapresic/newsattach/167/VEDSKA_MATEMATIKA_by_Damir_Belavic.pdf
Sve sto smo mogli kod sabiranja oko permutacije sabiraka ovde ne mozemo. E sad, da to vidimo na primeru.
Ako bi rekli da mozemo da saberemo 2+5=7 i da je to isto kao i 5+2=7 i ako bi to primenili na oduzimanje ima li bi nesto ovako...
2-5=-3 i 5-2=3, sta vidimo?
Rezultat svakako nije isti, matematicki gledano naravno. Dobili smo 3 i -3 sto naravno nije isto. Medjutim ono sto je nama recimo prakticno moguce, ako dodamo minus nesto ovako:
-(2-5)=-(3)=3(minus i minus daju plus, obradicu i temu o znakovima u narednim tekstovima naravno).
Znaci, isto je i nije isto. Ako zurimo ili slucajno zapisemo recimo 2-5 nije strasno, dodamo minus i to je to imamo tacno resenje.
Ako smo shvatili sta se ovde radi u oduzimanju da vidimo prakticno neke cake za racunanje.
Nekada davno u Indiji koji su bili dobri matematicari nastala je vedska matematika. Pominjacu ih jos nekoliko puta :)
Da vidimo prvo primer:
75-29=?
75
29
oduzimamo 5 od 9, sto je -4 ili da je 5 manje od devet. To ne mozemo tako napisati pa radimo sledece.
Razlika izmedju 5 i 9 je 4. Za poslednji broj uzimamo kao merodavan da tako kazem 10, a za ostale 9. Sada cemo videti sta znaci to 9 i 10.
Znaci razlika je 4, 10 manje 4 je 6. Pisemo 6.
Dalje...
7-2 je 5, poslednji smanjimo za 1 i to je to. Rezultat je 46 :)
Da remiziramo sta se desilo:
od 10 oduzmemo poslednju razliku i upisemo
onda od 9 oduzmemo sledecu i sve tako koliko ima brojeva
na kraju kada dobijemo poslednju razliku od tog broja oduzmemo jedan i to je to, resenje.
Na ovaj nacin se izbegne ona razlika recimo 14 od 5 i slicno, tj.pravimo sablon.
Ovde je link za jako lepo uradjenu skriptu, pa da ne bih bezveze pisao, mislim da ta skripta je sasvim dovoljna za racunanje. U ovoj skripti je obradjeno i mnozenje, mislim i deljenje tako da je jako dobra.
http://www.os-ljudevita-gaja-zapresic.skole.hr/upload/os-ljudevita-gaja-zapresic/newsattach/167/VEDSKA_MATEMATIKA_by_Damir_Belavic.pdf
Sabiranje
Sabiranje je osnovna operacija u matematici. Sta to znaci, to znaci da kada stojite na stanici i cekate autobus i dolazi vam recimo iz daleka 3 autobusa vi je vec koristite. Bas je osnovna zar ne :)
E sad, pravila, hm... pa nema ih mnogo. Da vidimo ovako.
Ako uzmemo primer ovih autobusa, kako sam ih se dobro setio :) imacemo ovako nesto.
Mozemo da saberemo prvi+drugi+treci i imamo tri autobusa, a mozemo i treci+prvi+drugi i opet imamo tri autobusa. Znaci, prvo pravilo je da kada sabiramo mozemo da menjamo mesta. Jednostavno zar ne? Matematicari to zovu asocijativnost. Kako zapamtiti tu rec, recimo nesto sa asocijacijama, mada to je vasa stvar. Znate da mogu da menjaju mesta i to je vec napredak na bolje(ako do sada niste znali, onda ucite novu rec :) ) a+b+c=b+a+c=c+a+b=....
Sledeca stvar je da je njihov rezultat uvek tri, tj. vama uvek dolazi isti rezultat bez obzira od redosleda tih autobusa. To se zove komutativnost. 1+1+1=3(kojim god redosledom isli)
Dalje, ako tom broju tri(koliko imamo autobusa) dodamo nista, ostaje taj broj(logicno). To nista je 0.
3+0=0
I jos jedna stvar, za svaki broj koji je pozitivan imamo i njegov negativan. Znaci da imamo 2 i -2, 100 i -100,.... Njihov zbir je nula.
E sad, kako brzo sabirati...
Hm...prvo i onsnovno mora da se vezba. Za sabrianje nisam nasao neke cake sve se svodi na ono sto znamo iz skole svaki sa svakim, ako predje zbir preko deset pamtimo koliko je preslo i dodamo dalje itd.
Kada se radi na papiru to moze da ide lako, ali ako hocemo u glavi ili napamet, recimo sad sam se setio necega pa da probamo...
ako imam 325+864 napamet, da vidimo ovako.
300+800=1100
20+60=80
5+4=9
325+864=1189
Meni ide, da objasnim onima koji nisu shvatili. Saberem prosto ono sto spada u istu grupu, stotine i stotine, desetine i desetine, jedinice i jedinice i sklopim u jedan broj. Ako se malo vezba mislim da se moze dosta brzo sacunati neki zbir dva broja koja nece preci 1000.
Na netu sam video i metodu da se ide sa leva na desno.
325+864
3+8=11
2+6=8
5+4=9
i to je opet 1189.
Evo jos nekih primera
589+725
5+7=12
8+2=10
9+5=14
1314 je rezultat. ZASTO, kada je trebalo da pise 121014, hehe, mozda na nekom drugom svetu. Ovde ce sve sto predje deset u zibru ici u onog predhodnog. Tj. od onih 10, 10 je preslo u onih 12(samo ona jedinica.), caka je u tome sto 80+20 koliko je u stvarnom broju ulaze u stotine pa se moraju tamo i uracunati. I to isto vazi i za onih 14. Nakon par primera mislim da ce ovo biti u redu, samo naravno proverite na digitronu rezultate.
Sto se tice sabiranja, mislim da je to ono cega se ja secam, mislim da je bolje nego ono sa podvlacenjem. Mada smo svi razliciti i naravno bez vezbe nista.
Dok idete u skoli ili uvece dok putujete do diskoteke, napisete u telefon neke brojeve koji treba da se saberu, saberete u glavi u prevozu, zapiste u telefon i kada se vratite proverite.
To je ono sto mogu da vam kazem za sabiranje, srecno u radu ;)
E sad, pravila, hm... pa nema ih mnogo. Da vidimo ovako.
Ako uzmemo primer ovih autobusa, kako sam ih se dobro setio :) imacemo ovako nesto.
Mozemo da saberemo prvi+drugi+treci i imamo tri autobusa, a mozemo i treci+prvi+drugi i opet imamo tri autobusa. Znaci, prvo pravilo je da kada sabiramo mozemo da menjamo mesta. Jednostavno zar ne? Matematicari to zovu asocijativnost. Kako zapamtiti tu rec, recimo nesto sa asocijacijama, mada to je vasa stvar. Znate da mogu da menjaju mesta i to je vec napredak na bolje(ako do sada niste znali, onda ucite novu rec :) ) a+b+c=b+a+c=c+a+b=....
Sledeca stvar je da je njihov rezultat uvek tri, tj. vama uvek dolazi isti rezultat bez obzira od redosleda tih autobusa. To se zove komutativnost. 1+1+1=3(kojim god redosledom isli)
Dalje, ako tom broju tri(koliko imamo autobusa) dodamo nista, ostaje taj broj(logicno). To nista je 0.
3+0=0
I jos jedna stvar, za svaki broj koji je pozitivan imamo i njegov negativan. Znaci da imamo 2 i -2, 100 i -100,.... Njihov zbir je nula.
E sad, kako brzo sabirati...
Hm...prvo i onsnovno mora da se vezba. Za sabrianje nisam nasao neke cake sve se svodi na ono sto znamo iz skole svaki sa svakim, ako predje zbir preko deset pamtimo koliko je preslo i dodamo dalje itd.
Kada se radi na papiru to moze da ide lako, ali ako hocemo u glavi ili napamet, recimo sad sam se setio necega pa da probamo...
ako imam 325+864 napamet, da vidimo ovako.
300+800=1100
20+60=80
5+4=9
325+864=1189
Meni ide, da objasnim onima koji nisu shvatili. Saberem prosto ono sto spada u istu grupu, stotine i stotine, desetine i desetine, jedinice i jedinice i sklopim u jedan broj. Ako se malo vezba mislim da se moze dosta brzo sacunati neki zbir dva broja koja nece preci 1000.
Na netu sam video i metodu da se ide sa leva na desno.
325+864
3+8=11
2+6=8
5+4=9
i to je opet 1189.
Evo jos nekih primera
589+725
5+7=12
8+2=10
9+5=14
1314 je rezultat. ZASTO, kada je trebalo da pise 121014, hehe, mozda na nekom drugom svetu. Ovde ce sve sto predje deset u zibru ici u onog predhodnog. Tj. od onih 10, 10 je preslo u onih 12(samo ona jedinica.), caka je u tome sto 80+20 koliko je u stvarnom broju ulaze u stotine pa se moraju tamo i uracunati. I to isto vazi i za onih 14. Nakon par primera mislim da ce ovo biti u redu, samo naravno proverite na digitronu rezultate.
Sto se tice sabiranja, mislim da je to ono cega se ja secam, mislim da je bolje nego ono sa podvlacenjem. Mada smo svi razliciti i naravno bez vezbe nista.
Dok idete u skoli ili uvece dok putujete do diskoteke, napisete u telefon neke brojeve koji treba da se saberu, saberete u glavi u prevozu, zapiste u telefon i kada se vratite proverite.
To je ono sto mogu da vam kazem za sabiranje, srecno u radu ;)
Imaginarni broj
Imaginarni broj - to je broj u zapisu a+bi, a i b su opste oznake nekih realnih brojeva(koji god da zamislite) dok je ovo i imaginarni broj. Primer ovakvog broja je recimo 468481685946+165148463126315i.
Kasnije cu verovatno vise pisati o njima kada budem stigao do tih oblasti iz matematike.
Kasnije cu verovatno vise pisati o njima kada budem stigao do tih oblasti iz matematike.
Realni brojevi
Realni brojevi - To su svi racionalni i iracionalni brojevi. Prosto se stapaju u novi skup ili grupu.
Iracionalni brojevi
Iracionalni brojevi - da skratim definicju, oni nisu normalni. Zasto oni nisu normalni, zato sto svi oni zaludni naucnici koji su pokusali da ih dovedu do kraja(kao sto je 1/2=0.5 ili pola necega)odustali. Znaci da su oni zeznuli naucnike i oni su ih prozvali iracionalnim. Recimo to je broj pi(odnos obima i precnika kruga, znaci da ga i vi mozete dobiti ako uzmete krug nekog obima i podelite ga sa precnikom dobicete uvek pi(3,14......)nisam probao ali kazu da radi :) ), to je koren od 2, kubni koren iz 5, .... ako nekog bas oni zanimaju posebno neka nadje i ostale na netu. Nije tesko ih naci veoma su poznati i slavni u tom svetu brojeva. Sada idemo na recimo realne brojeve.
Celi brojevi
Celi brojevi - Ima jedna dobra definicija na wiki o njima i kaze da su to svi okrugli brojevi. Bilo koji broj koji ti pande na pamet bez zareza je ceo broj, moze i minus i plus i nula. Recimo da im je primena u praksi kada imas u dzepu 100din i odes u pekaru i hoces da kupis picu koja kosta 120din i mnogo je dobra. Pozajmis od druga jos 30din i kupis picu, a onda i neku cokoladicu jer moras da se zasladis naravno i sta se onda desi. Uleteo si iz celog pozitivnog(+) u ceo negativan broj(-)u tvom dzepu. Sta ti je matematka, tebi dzep prazan, a ona ti kaze da u njemu imas -30din. I to su nam celi brojevi, idemo dalje na iracionalne.
Dobrodosli
Ovo je moj prvi blog i prvi put da bilo sta slicno radim na elektronski nacin. Cilj bloga je da sve one srednjoskolce i osnovce koji beze sa casova nauci necemu(jer ne mogu da vise slusam na vestima kako imamo 4 000 000 izostanaka), recimo matematici, na njima prihvatljiv nacin. Od ovih tekstova ce se mozda groziti vecina profesora gore pomenutog predmeta, ali sta da im radim kada oni nisu tema price.
Znaci, pokusacu da priblizim i pojednostavim onu suvoparnu matematiku na prihvatljiv nivo.
Da pocnemo onda...
Znaci, pokusacu da priblizim i pojednostavim onu suvoparnu matematiku na prihvatljiv nivo.
Da pocnemo onda...
Пријавите се на:
Постови (Atom)